Álgebras de Lie

 

 

30 de Julio 2021, Jesús Díaz

 

 

 

Definición:   Un espacio vectorial G se denomina álgebra de Lie si en él está definido un corchete (Lie), es decir, una aplicación lineal \(g \times g \rightarrow g\)  que satisface las siguientes condiciones:

(i)    [u,v] = -[v,u];

(ii)   [[u,v], w] + [[w,u], v] + [[v,w], u] = 0,   \(\forall u,v,w\ \in G\) (Identidad de Jacobi)

Si en (i)   [u,v] = 0  \(\forall u,v\ \in G\),  entonces se dice que el álgebra de Lie G es commutativa.

 

Definición:   Sea g un álgebra de Lie real. Se denomina álgebra derivada primera g al ideal \(g^{(2)}\) =  \([g,g] \subset g\). Por inducción definamos el álgebra derivada k-ésima \(g^{(k)}\)  del álgebra g haciendo:

\(g^{(k)}\) = \([g^{(k-1)},g^{(k-1)}]\).

De este modo se obtiene la sucesión decreciente de ideales

\(g = g^{(1)} \subset g^{(2)} \subset g^{(3)} \subset …\)

denominada serie derivada del álgebra g. Puede resultar que en cierto paso \(k \leq \) dim g  esta serie finalice en un elemento nulo \(g^{(k)}= 0 \).   En tal caso el álgebra de Lie se denomina álgebra de Lie resoluble. Toda subálgebra y toda imagen homomorfa de un álgebra de Lie resoluble son también resolubles.

 

Ejemplos:     Las álgebras de Lie nilpotentes forman una clase importante de álgebras resolubles.