Algebra Homológica y la Geometría Algebraica

Introducción al Algebra Homológica y la Geometría Algebraica

Su metodología consistía en desentrañar el “yoga” (en sus propias palabras) de una teoría antes de embarcarse en el descubrimiento, es decir, imaginar de antemano cuales son las relaciones que deben regir entre los objetos de una teoría y cuál debe ser el lenguaje adecuado (frecuentemente en términos de categoría) en el que expresarlas.

Jesús Díaz, 3 Noviembre 2020

 Productos tensoriales topológicos

•  los espacios nucleares y el producto tensorial de espacios localmente convexos
• sistema fundamental de entornos del 0 formado por las envolturas convexas equilibradas
• las funciones  μ-medibles de un espacio localmente compacto con valores en un espacio de Banach se recuperan mediante esta construcción a partir de las funciones escalares μ-medibles
• generalización del teorema del núcleo de Schwartz, subespacio normado, espacio nuclear
• las funciones holomorfas sobre una variedad analítica compleja
• Propiedades de las paridades naturales, definidas en el contexto de las variedades diferenciables C∞, espacios de formas y los de corrientes con soporte compacto
• Teoría de Haces, cohomología de haces sobre una variedad diferenciable compleja compacta, fibrados holomorfos sobre la esfera de Riemann, el modelo analítico de la recta proyectiva compleja

Dualidad

• teoría general de espacios con haz estructural
• la dualidad en cohomología, trasponer al contexto de las variedades algebraicas el principio de dualidad de Poincaré
• la topología de Zariski es apropiada para calcular la cohomología de variedades algebraicas con coeficientes en haces coherente, funtor de extensiones (Ext) de haces
• variedades con singularidades arbitrarias, generaliza la definición de la cohomología de haces, resolución de Godement y el procedimiento de Cech
• la condición de Cohen–Macaulay, haz dualizante, singularidad de la variedad
• coeficientes complejos de cadenas deobjetos de la categoría abeliana generalizando la “hipercohomología” definida por Cartan y Eilenberg para módulos
• categoría derivada, que está de actualidad por su uso reciente en la teoría de las Representaciones de  Algebras y en la Homotopía Estable
• visión cohomológica que se resume en la teoría de las “seis operaciones” que se pueden emparejar por dualidad: tensor–hom, imagen directa–imagen inversa, imagen directa con so-porte compacto–imagen inversa excepcional,  reflexiones cohomológicas, cohomologías etale y cristalina

Riemann-Roch a la Grothendieck

• calcular la característica de Euler-Poincaré de una variedad no singular X con coeficientes en el haz de secciones de un fibrado. Se suponía que en una tal fórmula debían aparecer las clases características de Chern del fibrado y las del fibrado tangente, Hirzebruch
• polinomios universales (de Chern y Todd) con valores en las clases características del fibrado y del fibrado tangente a la variedad, grupos de ciclos de Chow
• el grupo de Grothendieck, hoy conocido como “funtor K0”
• Los topólogos emplearon el grupo K0 para definir una nueva teoría de cohomología denominada “Teoría K”, las teorías de cohomología generalizadas

Esquemas

•  Una variedad algebraica (afín) está determinada por su anillo de funciones regulares, el conjunto de ideales maximales, propiedades del homomorfismo de anillos asociado
• simplificación del lenguaje de la Geometría Algebraica asociando a cada anillo conmutativo un “objeto geométrico”, su esquema afín o espectro del anillo
• un caso posible es el esquema que se interpreta como una familia de variedades sobre el espectro del anillo
• los “gérmenes de variedades” en torno a un punto se interpretan simplemente como el espectro del anillo local del esquema en el punto
• La existencia de productos (fibrados) categóricos permite expresar el “cambio de base” y nociones análogas a la compacidad ola separación en espacios topológico
• elementos nilpotentes en el haz estructural
• el anillo k[ε], con ε2= 0 representa un vector tangente “sin espacio”
• es el yoga de los funtores representables, construir un espacio a partir de sus propiedades, por ejemplo un espacio de parámetros
• un funtor (contravariante) de la categoría de esquemas sobre el esquema base a conjuntos, propiedades geométricas de este funtor
• los espacios de moduli  que parametrizan las curvas de un género dado, pilas algebraicas (en francés champs, en inglés stacks).

Topos

• los fundamentos de la Topología. El concepto de espacio topológico posee ciertas limitaciones, por ejemplo, no permite definir una teoría de “coeficientes discretos” sobre un esquema
• La idea de topos parte del hecho de que la cohomología de los espacios interesantes se puede expresar en términos de haces.
• Un topos es una categoría con las propiedades formales de una categoría de haces.
• La forma usual de comprender un topos es como la categoría de haces sobre ciertas categorías estructuradas denominadas sitios.
• Un sitio es una categoría que verifica las propiedades análogas a las que verifica la categoría de los abiertos de un espacio topológico junto con las inclusiones, de modo que sea posible realizar construcciones a la Cech, pero sin que los morfismos tengan por qué ser inclusiones. Esta noción es la que permite construir las cohomologías etale y cristalina de esquemas.
• espacios de hojas de las foliaciones
• ampliación de la noción de topos a la de “topos elemental”
• En estos topos elementales se producen fenómenos muy peculiares como que pueden regir lógicas no clásicas (intuicionista, borrosa…), no cumplirse ciertos axiomas de conjuntos (como el axioma de elección) o ser diferentes los números reales de Cantor y de Dedekind, Teoría de Modelos

Cohomología étale

•  para una variedad compleja, el teorema de existencia de Riemann garantiza que los revestimientos topológicos finitos poseen estructura de variedad algebraica
• morfismos étales, se construye un topos en el que los “abiertos” del sitio son los revestimientos ́eta-les
• La cohomología de este topos es la cohomología étale y, para variedades definidas sobre el cuerpo de los complejos, recupera la cohomología singular conmutativa con coeficientes finitos
• cómputo de los números de Betti
•  conjeturas de Weil, formas modulares y las propiedades de monodromía de la cohomología étale

 Motivos

•  existencia del correspondiente algebraico del operador de Hodge Λ cuasi-inverso del operador de Lefschetz L
• predice la validez en característica positiva del teorema de Hodge que enuncia la positividad de la paridad definida por la intersección de ciclos
• las conjeturas estándar tienen una consecuencia fundamental, la existencia de una teoría de cohomología universal para variedades algebraicas. Esta teoría explicaría la coincidencia de las propiedades de las múltiples cohomologías disponibles, Demazure, Kleiman y Manin, primera construcción conjetural de la categoría de motivos de variedades proyectivas lisas, que de ser ciertas las conjeturas est ́andar sería una categoría abeliana semi-simple
• Un motivo, es en pocas palabras, un “sumando directo” de la información cohomológica que posee una variedad proyectiva lisa
• Esta formulación expresa la idea de intentar extraer la información cohomológica esencial (un dato que pertenece a una categoría  abeliana) de una variedad, un objeto perteneciente a una categoría esencialmente “no-abeliana”, de hecho, con propiedades más similares a las de la categoría de espacios topológicos que a las de la de módulos sobre un anillo
• filosofía de los pesos desarrollada por Deligne a partir de ideas de Serre y Grothendieck
• Mediante estas ideas se obtiene una relación entre los ciclos algebraicos, la Teoría K Algebraica y los valores de las funciones L de Teoría de Números
• los grupos de Galois motívicos que permiten recuperarla categoría de motivos como la categoría de representaciones de un grupo algebraico mediante la dualidad de Tannaka–Grothendieck

Cristales

•   la cohomología tiene dos aspectos, el discreto y el continuo. Los coeficientes continuos son los haces coherentes sobre las variedades algebraicas y analíticas
• la torsión cohomológica p-ádica. Por esta razón Grothendieck inventa la cohomología cristalina, que posteriormente desarrollará Berthelot. La idea del sitio cristalino es forzar la validez del lema de Poincaré
• los complejos de operadores diferenciales, la cohomología singular con coeficientes en C se puede recuperar algebraicamente mediante la hipercohomología del complejo de De Rham algebraico
• Mebkhout de dualidad para D-módulos sobre variedades analíticas complejas

 Sueños matemáticos

• La primera es el Algebra Topológica, lo análogo en Homotopía al concepto de complejo serían los∞-grupoides laxos, versión haces, es decir, las∞-pilas. Versión muy general de la cohomología no abeliana y un método para obtener modelos combinatorios de los tipos de Homotopía, posibles aplicaciones a la Física
• La segunda es la Topología moderada, obtener un modelo de topología estable por operaciones naturales como contracción, recolección, espacio de funciones (inspirado en los métodos que introdujo en esquemas), modelos los espacios semi-algebraicos, subanalíticos o similares, pero el énfasis era fundacional
• Geometría Algebraica Real conectada con estas ideas
• Geometría Algebraica Anabeliana: dar una teoría que diga cuándo y cómo puede reconstruirse una variedad algebraica a partir de su grupo fundamental, el caso de interés aparece cuando este no es conmutativo.
• Un aspecto clave es el estudio de la acción del grupo de Galois absoluto del cuerpo base de la variedad sobre su grupo fundamental, teoría de Galois-Teichmüller
• relacionar el grupo de Galois absoluto del cuerpo de los racionales, Gal(Q|Q),con el grupo de automorfismos de la torre de Teichmüller, formada por las pilas de moduli de las curvas de genero g con n puntos marcados Mg,n que respetan sus morfismos de estructura naturales
• El punto de vista esquemático o aritmético para los poliedros regulares. De este aspecto han salido a la superficie los “dibujos de niños”
• se trata de recuperar una curva definida sobre un cuerpo de números a partir de ciertos grafos dibujados sobre superficies de Riemann y a partir de este estudiar las propiedades de la curva
• el teorema de Belyi que dice que una superficie de Riemann X procede de una curva algebraica sobre un cuerpo de números precisamente cuando X posee una función meromorfa no constante ramificada a lo sumo sobre tres puntos